Guidage en Rotation

⏳ 3 Heures 👪/👷 Travail de groupe et travail individuel

Le guidage en rotation de la roue dentée (4) est réalisée par contact direct (glissement) entre l'alésage (perçage) et un axe de guidage en plastique. Ce choix de solution basique a ses limites. Suivant la vitesse de rotation ou l'effort supporté par la liaison, il peut être préférable d'ajouter une bague de frottement voire un roulement à billes entre les deux pièces.

L'objectif de cette activité est de vérifier par calculs ce choix de guidage en rotation.

Vous accorderez le plus grand soin à la notation de vos vecteurs force et moment et des torseurs.

Isolement du pignon (5)

Afin de valider le dimensionnement du guidage de la roue par glissement, on se place dans le cas du couple maximal transmissible par le moteur.

Hypothèses

toutes les coordonnées sont données dans le repère R = (A, x, y, z),
toutes les actions ont lieu dans le plan (A, x, y) qui est le plan de symétrie,
le poids des pièces est négligeable devant les autres actions mécaniques,
le moteur, donc le pignon (5), tourne dans le sens horaire,
le graphe de liaisons est donné en ressources,
les roues dentées étant normalisées, les actions mécaniques entre denture admettent comme direction une droite inclinée à 20° par rapport à l'axe x comme définit ci-après.

Soit les points :

A sur l'axe de rotation du moteur,
B centre de la liaison pivot de la roue (4),
F contact entre (5) et (4),
H contact entre (4) et (3).

Le pignon moteur (5) est soumis à 3 actions mécaniques :

le couple moteur Cm,
l'action mécanique issue du contact entre dentures au point F entre 4 et 5,
l'action mécanique issue de la liaison pivot au point A entre 0 et 5.

Action du couple moteur

📝 Question 1.1 - Le graphique ci-dessous représente le couple en mN.m fonction de la vitesse de rotation en rpm. Déterminer d'après le graphique ci-joint la valeur du couple maximal Cm que peut délivrer le moteur.

📝 Question 1.2 - La rotation du moteur s'effectuant autour de l'axe z dans le sens horaire, écrire les coordonnées du couple moteur.

📝 Question 1.3 - Ecrire le torseur au point A noté $\left\{TCm\right\}_A$ (dans ce cas, la force est nulle).

Action au point F

Le vecteur $F_{4\ \rightarrow\ 5}$ a été représenté sur la représentation ci-dessus.

📝 Question 1.4 - Déterminer les coordonnées de du vecteur $F_{4\ \rightarrow\ 5}$ fonction de sa norme F, inconnue, et de l'angle de 20°.

📝 Question 1.5 - Ecrire le torseur au point F noté $\left\{T_{F4\ \rightarrow\ 5}\right\}_F$ .

Action au point A

📝 Question 1.6 - A partir des degrés de liberté de la liaison pivot du pignon (5), en déduire les coordonnées du torseur $\left\{T_{A0\ \rightarrow\ 5}\right\}_A$ en tenant compte des hypothèses simplificatrices.

Principe Fondamental de la Statique

Le principe fondamental de la statique appliqué aux torseurs se traduit par la relation suivante :

En remplaçant par les coordonnées des torseurs :

De ce PFS découle 6 équations :

projection des forces sur X : $X_F\ +\ X_{Cm}\ +\ X_A=\ 0$
projection des forces sur Y : $Y_F\ +\ Y_{Cm}\ +\ Y_A=\ 0$
projection des moments sur X : $L_F\ +\ L_{Cm}\ +\ L_A=\ 0$
etc...

Pour pouvoir additionner des torseurs, ils doivent être tous écrit au même point.

Rappel : Dans un engrenage, le diamètre de la roue dentée dépend du nombre de dents et du module : D = m x Z.

📝 Question 1.7 - A partir des documents ressources, calculer le diamètre puis le rayon du pignon (5).

📝 Question 1.8 - Calculer le moment au point A de l'action $F_{4\ \rightarrow\ 5}$ . En déduire le torseur au point A noté $\left\{T_{F4\ \rightarrow\ 5}\right\}_A$ .

📝 Question 1.9 - Ecrire l'équation de projection des moments sur l'axe Z issue du PFS appliqué au pignon (5).

📝 Question 1.10 - Résoudre cette équation afin de déterminer la norme de F.

Isolement de la roue dentée (4)

La route dentée (4) est soumis à 3 actions mécaniques :

1. l'action mécanique issue du contact entre dentures au point F :

2. l'action mécanique issue du contact entre dentures au point H :

3. l'action mécanique issue de la liaison pivot :

Pour cet isolement, vous travaillerez littéralement. L'application numérique ne sera que pour la dernière question.

📝 Question 2.1 - A partir des documents ressources, calculer le rayon de la roue dentée (4B). Calculer le moment au point B de l'action $F_{4\ \rightarrow\ 5}$ . En déduire le torseur au point B noté $\left\{T_{F5\ \rightarrow\ 4}\right\}_B$ .

📝 Question 2.2 - Calculer le rayon de la roue dentée (4A). Calculer le moment au point B de l'action $H_{3\ \rightarrow\ 4}$ . En déduire le torseur au point B noté $\left\{T_{H3\ \rightarrow\ 4}\right\}_B$ .

📝 Question 2.3 - Ecrire les trois équations de projection possible issues du PFS appliqué à la roue dentée (4).

📝 Question 2.4 - Résoudre les équations et faire l'application numérique afin de déterminer les inconnues du problème.

📝 Question 2.5 - Préciser les coordonnées de $B_{0\ \rightarrow\ 4}$ et calculer sa norme.

Pression dans le guidage

La caractéristique principale à vérifier dans la liaison pivot par contact direct entre la roue dentée (4) et l'axe fixe est la pression diamétrale. Cette pression se détermine par la relation suivante :

Avec :