✏️ Exercice corrigé

L'objectif d'un ingénieur lorsqu'il travaille sur les fondations d'un ouvrage est de savoir si le bâtiment est sera stable, ce qui est défini par la formule suivante :

$$\sigma_v < q_{net}$$

avec $\sigma_v$ la contrainte de l'ouvrage sur le sol en MPa et $q_{net}$la capacité portante du sol en MPa.

Un bloc de béton armé, de poids volumique $\gamma = 25 \text{ kN.m}^{-3}$est posé sur un sol argileux de capacité portante $q_{net} = 0,3 \text{ MPa}$. Les dimensions du bloc sont données sur la figure suivante.

Question 1. Calculer le poids du bloc de béton armé et en déduire $N_u$en N, la force du bloc de béton transmise au sol.

Question 2. Calculer la surface en contact avec le sol notée $S$en mm².

Question 3. À partir des questions précédentes, calculer la contrainte $\sigma_v$en MPa

Question 4. Vérifier si le bloc de béton sera stable ou s'il y a risque de rupture du sol.

Corrigé

Question 1. Habituellement, un poids se calcule avec la formule suivante : $P = m \cdot g$. Ici, on ne nous donne pas la masse du bloc mais simplement son poids volumique : $\gamma = 25 \text{ kN.m}^{-3}$. En regardant les unités, on s'aperçoit qu'il s'agit du poids (en kN) pour un mètre cube de béton armé.

Le bloc ne faisant pas 1 m³, il faut donc d'abord calculer son volume :

$$V = l \times L \times h = 1,00 \times 1,00 \times 0,50 = 0,50 \text{ m}^3$$

On en déduit ensuite sont poids et la force transmise au sol :

$$P = \gamma \times V = 25 \times 0,50 = 12,5 \text{ kN} = 12500 \text{ N} = N_u$$

Question 2. La sous face en contact avec le sol possède une aire :

$$S = l \times L = 1000 \times 1000 = 1,00 \cdot 10^6 \text{ mm}^2$$

Question 3. La contrainte est le quotient de la force divisée par la surface. Soit :

$$\sigma_v = \frac{N_u}{S} = \frac{12500}{1,00 \cdot 10^6} = 12,5 \cdot 10^{-3} \text{ MPa}$$

Question 4. On doit vérifier maintenant que la contrainte de l'ouvrage sur le sol reste inférieure à ce que le sol peut porter, soit $q_{net}$.

On a d'une part $\sigma_v = 12,5 \cdot 10^{-3} \text{ MPa}$et d'autre part $q_{net} = 0,3 \text{ MPa}$. On en déduit que :

$$\sigma_v < q_{net}$$

L'ouvrage sera stable.